De MA à ARMA : le rôle de l'autorégression

Le terme autorégressif (AR)

Un modèle AR(p) exprime la valeur actuelle comme une combinaison des p valeurs passées : y_t = mu + phi_1 * y_{t-1} + ... + phi_p * y_{t-p} + epsilon_t. Contrairement au MA, sa mémoire ne s’arrête jamais brutalement : elle s’estompe progressivement, à un rythme gouverné par phi — cohérent avec la décroissance lente de l’autocorrélation observée à la leçon 2.

modele_ar = ARIMA(train, order=(1, 0, 0), trend="c").fit()

Combiner les deux : ARMA(p, q)

modele_arma = ARIMA(train, order=(1, 0, 1), trend="c").fit()

Un ARMA combine l’inertie longue de l’AR et l’écho des chocs récents du MA — souvent plus économe en paramètres qu’un AR seul pour atteindre la même qualité d’ajustement.

Comparer sur trois axes, pas un seul

for nom, modele in [("MA(1)", modele_ma), ("AR(1)", modele_ar), ("ARMA(1,1)", modele_arma)]:
    print(nom, "AIC:", round(modele.aic, 1))

MA(1): AIC=3405.0, MAE (1 pas)=8.39
AR(1): AIC=3323.8, MAE (1 pas)=7.11
ARMA(1,1): AIC=3291.4, MAE (1 pas)=6.66

L’AIC (Akaike Information Criterion) pénalise la complexité du modèle en plus de son ajustement : il permet de comparer des modèles à nombre de paramètres différent sans favoriser systématiquement le plus complexe. Ici, les trois critères s’accordent : l’ARMA(1,1) a le meilleur AIC et le meilleur MAE en prévision à un pas.

Le test de Ljung-Box : les résidus sont-ils du bruit ?

Un bon modèle ne doit laisser dans ses résidus (l’écart entre prédiction et réalité) qu’un bruit sans structure — toute structure résiduelle signifierait qu’un signal exploitable a été oublié.

from statsmodels.stats.diagnostic import acorr_ljungbox

lb_test = acorr_ljungbox(modele_arma.resid, lags=[10], return_df=True)
print("p-value:", lb_test["lb_pvalue"].iloc[0])

Test de Ljung-Box (p-value): 0.8735

Une p-value de 0,87 (largement supérieure au seuil conventionnel de 0,05) ne permet pas de rejeter l’hypothèse que les résidus sont du bruit blanc — un signal rassurant : l’ARMA(1,1) ne laisse pas passer de structure exploitable qu’un modèle plus riche aurait pu capter.

Prochaine étape

👉 Mettre le modèle au travail : prévision et intervalle de confiance

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Junior TSAFACK – 12/09/2026